数字

1. 实数

　　数字的书写。所有实数的集合用$\mathbb{R}$表示。通常来说，实数是用十进制来计数，以一个符号开始（如果是正数那么符号是可选的，但是是负数一定要在数字前面加负号），接着是一串有限的数字，一个小数点，最后接一串有限或无限的数字。

　　小数点后面无限重复的数字块常常用上划线来表示：$45.07123123123123\dots =45.07\overline{123}$。当数字大小在0和1之间，最好写出前面的0。0.123要比.123更好，因为最前的0可以提醒读者这是个小数否则只有小数点很容易被忽略。

　　小数点左边的数字如果大于3位的话，通常要加逗号来增加可读性：$1,332,443$。但是数字在1000和9999之间通常不加逗号。某些情况下，可以用空格来代替逗号：$1332443$。

　　并不是所有人都用句号来代表作小数点。有些国家用逗号来代替（例如：$\pi \approx 3,14159$），且用句号来间隔3位以上的数字（例如：$1.332.443$）。

　　百分号的意思是“除以100”。下面数字其实都表示一个值，但是可以被写成不同的形式：$\frac{1}{4}0.2525$。

　　科学计数法常常用来表示实数，特别是一些很大或很少的数。例如：$1.23\times {10}^7=12,300,000$ 和$4.56\times {10}^{-4}=0.000456$。在10的幂前面的数字通常要大于1且小于10。电脑程序使用科学计数法来表示数字时可能会用E或e来代替10的幂运算，像这样： $$\begin{array}{rl}1.23\times {10}^7& 1.23E07\\ 4.56\times {10}^{-4}& 4.56E-04\end{array}$$

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　　工程符号是科学计数法的变体，10的指数一定要是3的倍数，像这样: $$\begin{array}{rl}Scientificnotation:& 6.022\times {10}^{23}\\ Engineeringnotation:& 602.2\times {10}^{21}\end{array}$$ 对于工程符号，在10的幂前面的数字应该要大于1小于1000。

　　有时候使用其它基数而不是10是很有用的。下面列出一些其它形式的计数法：

• 基数在下标上用字母来代表，比如：${14}_{FIVE}or{0.202020}_{THREE}$。
• 基数在下标上用数字来表示，比如：${1011}_2$。
• 在计算机领域，16进制是用$0X$或$0x$开头。例如：$0X1A2B93$或$0x1a2b93$。这里字母A到F分别代表数字10到15。
• 在计算机领域，8进制是简单地用0开头。如$0177$。

　　有些实数可以用连分式来表示。例如： $$1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\cdots }}}}$$ 这种连分式也可用紧缩记法来表示，像这样：$1+\frac{1}{2+}\frac{1}{3+}\frac{1}{4+}\cdots$。这两个例子中，分子都是1，不过也可以是其它的。但是在分子都是1的情况下，连分式也可以表示成这样：$[1;2,3,4,\cdots ]$。

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　　数字的注释。 实数$x$的绝对值用$|x|$表示。

　　加减号$\pm$通常用来指代两个不同的值。因此$\pm 2$是指2和-2。这是很有用的速记方式，可以在一个公式中用来表示两个不同的正负值。例如，等式$x^2-2x-2=0$的解是$1\pm \sqrt{3}$。这意思是$1+\sqrt{3}$和$1-\sqrt{3}$都是等式的解。

　　但在一个表达式中使用加减号$\pm$两次则容易造成误解。试想一下$\pm 1\pm \sqrt{5}$。这也许表示$1+\sqrt{5}$和$-1-\sqrt{5}$这两个值，但也可以表示$1-\sqrt{5}$和$-1+\sqrt{5}$。真实想表达的意思得根据上下文进行推导。

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　　减加号$\mp$表示的意思与$\pm$是一样的。$\mp$常常与$\pm$联合使用，表示相反的符号。因此$\pm 3\mp \sqrt{7}$是指两个值：$3-\sqrt{7}$t和$3+\sqrt{7}$。

　　等式符号$=$有两种含义。一个是指两个值是相等的，就像$3+4=7$。在定义一个对象的时候还有另一种意思，就像“假设$x=1+\sqrt{5}$”。有些人在定义对象时用$:=$来表示。此外，符号$\triangleq$和$\stackrel{def}{=}$也可以表示等式符号。

2. 实数的子集

　　整数是指小数点后没有任何数字的实数，其中小数点写不写是可选的。整个整数的集合用$\mathbb{Z}$表示：$\mathbb{Z}=\{\cdots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \}$。

　　名词自然数没有一个标准的定义。这里我们把自然数定义为非负数的整数。因此，$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\cdots \}$。然而，有些数学家认为要把0给排除在外。

　　有理数是指可以被写成两个整数之比$a/b$，且$b$不为0的实数。有理数的集合用$\mathbb{R}$表示。也可以写成$\mathbb{Q}=\{x\in \mathbb{R}:x=a/bwherea,b\in \mathbb{Z}andb\ne 0\}$。

　　这些集合的包含关系是这样的：$\mathbb{R}\supset \mathbb{Q}\supset \mathbb{Z}\supset \mathbb{N}$。

　　在这些符号右上角加星号则有多种解释：

• ${\Bbb R^},{\Bbb C^}$\mathrm{等}\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{相}\mathrm{对}\mathrm{应}\mathrm{集}\mathrm{合}\mathrm{除}\mathrm{去}\mathrm{元}\mathrm{素}0\mathrm{的}\mathrm{其}\mathrm{它}\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{元}\mathrm{素}。\mathrm{注}\mathrm{意}：${\Bbb C}$表示复数的集合（见4.4章节）。
• ${\Bbb R^},{\Bbb C^}$\mathrm{等}\mathrm{也}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{集}\mathrm{合}\mathrm{的}\mathrm{可}\mathrm{逆}\mathrm{元}\mathrm{素}。\mathrm{在}\mathrm{整}\mathrm{数}\mathrm{情}\mathrm{况}\mathrm{下}，${\Bbb Z^*}$\mathrm{表}\mathrm{示}$\lbrace-1,1\rbrace$。\mathrm{不}\mathrm{过}\mathrm{这}\mathrm{种}\mathrm{情}\mathrm{况}\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{更}\mathrm{倾}\mathrm{向}\mathrm{于}\mathrm{用}${\Bbb Z^{\times}}$来表示。
• ${\Bbb C^}$\mathrm{有}\mathrm{时}\mathrm{用}\mathrm{来}\mathrm{表}\mathrm{示}${\Bbb C} \cup \lbrace\infty\rbrace$，\mathrm{尽}\mathrm{管}\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{推}\mathrm{荐}\mathrm{用}$\hat {\Bbb C}$\mathrm{或}$\overline {\Bbb C}$\mathrm{来}\mathrm{表}\mathrm{示}。\mathrm{类}\mathrm{似}\mathrm{地}，${\Bbb R^}$\mathrm{有}\mathrm{时}\mathrm{用}\mathrm{来}\mathrm{表}\mathrm{示}${\Bbb R} \cup \lbrace-\infty,+\infty\rbrace$，\mathrm{但}\mathrm{是}\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{推}\mathrm{荐}\mathrm{用}$\overline {\Bbb R}$。

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• ${\mathbb{Z}}^{\ast }$用来表示非负整数，$\{0,1,2,\cdots \}$，但是我们更推荐用$\mathbb{N}$来表示。
• 最后${}^{\ast }\mathbb{R}$用来表示非标准实数，详细情况见第19页。

　　在$\mathbb{R}$的上标或下标加上加号$+$通常是表示正实数：${\mathbb{R}}^{+}$或${\mathbb{R}}_{+}$。然而有时候为了方便需要把0也包括进来，于是${\mathbb{R}}_{+}^n$表示非负实数。类似地，${\mathbb{Q}}^{+}$和${\mathbb{Z}}^{+}$分别表示正的有理数和整数。

　　实数的区间可以用开放或关闭的括号和中括号表示。括号表示区间不包括临界点，而中括号则表示区间包括临界点。下面列出几个例子： $$\begin{array}{r}[1,2]=\{x\in \mathbb{R}:1\le x\le 2\}\\ [1,2)=\{x\in \mathbb{R}:1\le x<2\}\\ (1,2]=\{x\in \mathbb{R}:1<x\le 2\}\\ (1,2)=\{x\in \mathbb{R}:1<x<2\}\end{array}$$ 　　有些人用反中括号表示不包括一个区间的临界点。例如[a,b[表示的意思和[a,b)是一样的，即$\{x:a\le x<b\}$。类似地，]a,b]表示(a,b]，而]a,b[表示(a,b)。

　　符号$-\mathrm{\infty }$和$\mathrm{\infty }$也会用来表示区间的临界点：$[1,\mathrm{\infty })=\{x\in \mathbb{R}:x\ge 1\}$和$(-\mathrm{\infty },2)=\{x\in \mathbb{R}:x<2\}$。尽管表示所有的实数可以用$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$表示，但是更简单明了的方式是用$\mathbb{R}$表示。

3. 常见的实数

　　有一些实数有它本身特殊的含义。这里列举出一些常见的：

• $e$，自然对数的底数。它的近似值是2.71828。
• $\pi$，圆周率。它的近似值是3.14159。
• $\gamma$，欧拉常数：$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-lnn]$。它的近似值是0.5772。
• $\varphi$，黄金比例：$\varphi =(1+\sqrt{5})/2$。它的近似值是1.618。

　　注意很多学科都保留了一些特定字母来表示常数，例如$c$表示光速。

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4. 复数

待续$\cdots$

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5. 基础运算符

　　两个数$a$与$b$之和可以表示为$a+b$，差值可以表示为$a-b$。

　　乘法则有多种表示方法。如果数字是用字母代替，那么$ab$则是最常用的方式。如果是一个数字和一个字母的乘积，那么数字一般写在字母前面，比如$3x$。两个数字的乘法则用$\cdot$或$\times$作为操作符：$5\cdot 7$或 $8\times 11$。由于$\cdot$或$\times$都不是标准键盘上的字符，有一些人（特别是一些编程语言）则用星号来表示乘法：$3\ast 5$。

　　除法可以用这些方式来表示：$a÷b,a/b$或$\frac{a}{b}$。大家可以选择一个最易读懂的符号。

　　指数则用上标来表示：$a^b$。然而，有时候也用$\wedge$或$\ast \ast$来表示。

　　关于累加$\sum$和累积$\prod$的讨论见第8页。

6. 其它的表示体系

　　在工程和科学应用中，数学家也会使用很多其它数字体系。这里我们列出一些常见的体系。

• **分子序。**对一个整数$n\ge 2$，我们用${\mathbb{Z}}_n$表示集合$\{0,1,\cdots ,n-1\}$

• **有限域。**一个有$n$个元素的有限域可以写成GF(n)或${\mathbb{F}}_n$。众所周知，一个有限域的大小一定要是素数的指数，所以有限域最有可能像这样：$GF(p^a)$或${\mathbb{F}}_{p^a}$。

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• 高斯整数。高斯整数表现形式为$a+bi$，实数和虚数部分都是整数的复数。高斯整数的集合用$\mathbb{Z}[i]$表示。
• **四元数。**哈密顿发现的四元数的表现形式是$a+bi+cj+dk$，其中$a,b,c,d\in \mathbb{R}$，且i,j,k有下面的特性：

$$\begin{array}{rl}{i}^2=1& ij=kik=-j\\ j^2=-1& ij=kik=-j\\ j^2=-1& ij=kik=-j\end{array}$$

整个四元数的集合用$\mathbb{H}$表示。注意元素间的乘法在$\mathbb{H}$中是不能相互交换的。

• **外延。**上面我们提到高斯整数用$\mathbb{Z}[i]$表示。这个注释意思是我们整合了整数集$\mathbb{Z}$和虚数$i$，用加减乘方法构建了所有可能的数。

7. 无限

　　我们把无限的概念扩展到实数或复数体系中是非常有用的。

　　在实数领域中，$\bar{\mathbb{R}}$表示扩展的实数集合，它还包括了无限值$+\mathrm{\infty }$和$-\mathrm{\infty }$。

　　对于复数来说，$\hat{\mathbb{C}}$或$\bar{\mathbb{C}}$表示扩展的复数集合，也被称为黎曼球面，它还额外包括无限值$\mathrm{\infty }$。这个体系有时也简单地用$\mathbb{C}\cup \{\mathrm{\infty }\}$表示。有些作者也写成${\mathbb{C}}^{\ast }$，不过这种符号更合适被用来表示集合$\mathbb{C}-\{0\}$。

　　${}^{\ast }\mathbb{R}$是一个奇怪的实数扩展，表示*非标准实数*，包括了无穷小和超整数。

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　　我们在第7页中谈过，假定一个集合A，符号|A|表示集合A的势。 对一个有限元素的集合来说，这是一个整数。但是对于无限的集合来说，我们有特别的表示方法。

　　符号${\mathrm{\aleph }}_0$用来表示整数集合的势：${\mathrm{\aleph }}_0=|\mathbb{Z}|$。它是最小的超限数。符号$\mathrm{\aleph }$是希伯来语字母aleph，符号${\mathrm{\aleph }}_0$可以读作"aleph null" 或"aleph naught"。势为${\mathrm{\aleph }}_0$的集合也被称为可数的。

　　实数的势$|\mathbb{R}|$可以用$c$表示。$c$的数量也被称为连续统的势。

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